Homework 3

I principali modelli stocastici nella finanza

Il random walk

La teoria del ‘random walk’ (in italiano ‘teoria del cammino casuale’) è un modello finanziario dove il mercato azionario si muove in modo completamente imprevedibile. L’ipotesi suggerisce che il prezzo futuro di ogni azione è indipendente dal proprio movimento storico e dal prezzo di altri titoli.

Secondo la teoria del random walk, le forme di analisi delle azioni, sia tecnica che fondamentale, sono inaffidabili.

Principi alla base della teoria del random walk

La teoria è stata inventata per la prima volta dal matematico francese Louis Bachelier, il quale riteneva che i movimenti di prezzo delle azioni fossero imprevedibili.

La teoria però divenne famosa grazie all’opera dell’economista Burton Malkiel, il quale riprendendo le idee di Bachelier, concordò sul fatto che le quotazioni azionarie prendono un percorso completamente casuale. In base a questa teoria, la probabilità che il prezzo delle azioni aumenti in un dato momento è esattamente uguale alla probabilità che esso diminuirà.

La teoria del cammino casuale è stata paragonata all’ipotesi di mercato efficiente (EMH), poiché entrambe le teorie concordano sul fatto che è impossibile superare il mercato. Tuttavia, la EMH sostiene che ciò è dovuto al fatto che tutte le informazioni disponibili sono già incluse nel prezzo dell’azione, anziché ritenere che i mercati e i prezzi seguano un andamento disorganizzato.

Implicazioni per i trader

I trader che approvano la teoria del random walk ritengono che sia impossibile avere performance migliori del mercato azionario e che tentare di farlo comporterebbe grandi quantità di rischio. I sostenitori di questa ipotesi tendono ad adottare una strategia di ‘buy and hold’, in quanto la teoria suggerisce che le posizioni a lungo termine avranno maggiori probabilità di successo.

Gli operatori finanziari cercheranno di detenere una selezione diversificata di azioni che meglio rappresentano l’intero mercato azionario: i fondi negoziati in borsa (exchange traded fund, ETF) e gli indici sono strumenti diffusi, in quanto tengono traccia di una gamma di prezzi delle azioni delle società.

Le critiche alla teoria del random walk

I critici della teoria del cammino casuale affermano che è possibile avere performance migliori del mercato attraverso un’attenta considerazione dei punti di entrata e di uscita; questo richiederebbe una quantità di tempo, conoscenze e abilità non indifferenti.

Attraverso un’attenta analisi i trader possono proteggersi dai movimenti imprevedibili del mercato, applicando una strategia di gestione del rischio efficace.

Dopo che l’economista Paul Samuelson nel 1960 ha riscoperto il lavoro del matematico francese, la teoria di Bachelier è stata rivista supponendo che ad interessare non è tanto la variazione del prezzo, ma la variazione proporzionale del prezzo. Questo problema, matematicamente, può essere gestito con il logaritmo.

Oltre al fatto che i prezzi non si muovono di una sola unità, un’ulteriore differenza fra il modello di Bachelier e la finanza reale è che i mercati si muovono in tempo continuo. Il tempo spazia sull’intera linea dei numeri reali positivi, e non in tempo discreto dove invece esso assume valore nell’insieme dei numeri naturali (t=0, 1, 2, 3, e così via), come nell’esempio della moneta. A tal proposito, Bachelier ideò un’importante teoria per il passaggio dal discreto al continuo, purtroppo non rendendola mai rigorosa per mancanza degli strumenti matematici necessari.

Dal punto di vista matematico

Nel 1923 Norbert Wiener produsse una costruzione matematica rigorosa della teoria di Bachelier, direttamente nel tempo continuo, basata sul processo del moto browniano. Infatti, matematicamente, un moto browniano è descritto da quello che è detto processo di Wiener , che è un processo stocastico indicizzato da tempo continuo. In questo caso si inizia da un tempo uguale a zero.

Il moto browniano possiede alcune proprietà rilevanti. Gli incrementi descritti nel processo di Wiener, per esempio, sono indipendenti e si distribuiscono normalmente. La distribuzione di probabilità, in statistica, è una funzione che mostra i possibili valori per una variabile e quanto spesso essi si verificano. La distribuzione più famosa ed utilizzata è appunto la distribuzione normale, espressa dalla curva di Gauss, usata per spiegare tanti fenomeni naturali ed economici. Se i valori seguono questa curva, che prende la forma di una campana, nella pratica non si troverà quasi mai un caso che si discosta molto dalla media. Questa distribuzione di probabilità può descrivere variabili come l’altezza di una popolazione, i punteggi del test del QI o, tornando a Bachelier, i guadagni giocando a testa o croce.

Come intuì Bachelier, se si dispongono in un diagramma tutte le variazioni di prezzo di un’obbligazione relative ad un determinato periodo di tempo, queste si dispongono nella consueta forma di una curva a campana.

La teoria del Mean Reversion

Il mean reversion è una teoria che suggerisce che il prezzo di un sottostante tende a tornare alla sua media di lungo periodo. Le strategie basate sul ritorno alla media cercano di trarre vantaggio da cambiamenti estremi nel prezzo di un sottostante, supponendo che torni allo stato precedente.

Le basi della teoria del mean reversion

Il concetto del ritorno alla media presuppone che un livello che si discosta dalla sua tendenza di lungo termine tornerà indietro.

Questa teoria ha portato a molte strategie che comportano l’acquisto o la vendita di sottostanti le cui performance recenti hanno differito notevolmente dalle loro medie storiche. Tuttavia, una variazione dei rendimenti di un sottostante potrebbe essere segno che qualcosa è cambiato nei fondamentali.

I rendimenti percentuali e i prezzi non sono le uniche misure considerate nel mean reversion. Anche i tassi di interesse o il rapporto P/E di un’azienda possono essere soggetti a questo fenomeno.

Come utilizzare la teoria del mean reversion

La teoria del mean reversion si utilizza come parte di un’analisi statistica delle condizioni di mercato e può essere parte di una strategia di trading generale. Si applica bene alla strategia “buy low sell high”.

L’approccio è stato utilizzato anche nella determinazione del prezzo delle opzioni per descrivere l’oscillazione della volatilità attorno alla media a lungo termine. Uno dei presupposti di molti modelli di determinazione del prezzo delle opzioni è che la volatilità del prezzo tende a ritornare verso la media. Gli investitori possono selezionare il miglior trade possibile utilizzando la teoria del mean reversion per identificare gli intervalli di volatilità.

Limitazioni del mean reversion

Il ritorno alla “normalità” non è garantito, poiché massimi o minimi imprevisti potrebbero indicare un cambiamento dello status quo. Ad esempio, il cambiamento del prezzo di un’azione dovuto a un calo dei profitti dell’azienda può indicare che essa non ha le stesse prospettive di una volta.

Cosa sono le greeks?

Nel trading di opzioni, troverai regolarmente delle discussioni riguardo le greche. Questi calcoli finanziari misurano la sensibilità di un’opzione a parametri specifici, come il tempo e la volatilità. Le greche aiutano i trader di opzioni a prendere decisioni più informate sulle loro posizioni e a valutare il loro rischio. Le greche principali utilizzate nel trading di opzioni sono quattro: Gamma, Delta, Theta e Vega.

Gamma (Γ)

Gamma (Γ) misura il tasso di variazione del delta di un’opzione, sulla base di una variazione di 1$ nel prezzo dell’asset sottostante. Gamma è quindi la derivata prima del delta e quanto più alto è il gamma di un’opzione, tanto più volatile è il suo prezzo di premio. Gamma aiuta a capire la stabilità del delta di un’opzione ed è sempre positivo per le call e le put.

Immagina che la tua opzione call abbia un delta di 0,6 e un gamma di 0,2. Il prezzo dell’asset sottostante aumenta di 1$ e il premio della call di 60 centesimi. Il delta dell’opzione si adegua quindi al rialzo di 0,2 passa quindi a 0,8.

Delta (Δ)

Delta (Δ) indica il tasso di variazione tra il prezzo di un’opzione e un movimento di 1$ nel prezzo dell’asset sottostante. Il calcolo rappresenta la sensibilità del prezzo dell’opzione rispetto a un movimento del prezzo dell’asset sottostante.

Delta è compreso tra 0 e 1 per le opzioni call e tra 0 e -1 per le opzioni put. I premi delle call aumentano quando il prezzo dell’asset sottostante aumenta e diminuiscono quando il prezzo dell’asset diminuisce. I premi delle put, invece, diminuiscono quando il prezzo dell’asset sottostante sale e aumentano quando il prezzo dell’asset scende.

Se la tua opzione call ha un delta di 0,75, un aumento di 1$ del prezzo dell’asset sottostante aumenterebbe teoricamente il premio dell’opzione di 75 centesimi. Se la tua opzione put ha un delta di -0,4, un aumento di 1$ del prezzo dell’asset sottostante farà diminuire il premio di 40 centesimi.

Theta (θ)

Theta (θ) misura la sensibilità del prezzo di un’opzione rispetto al tempo che manca alla sua maturazione (o scadenza). Più precisamente, il theta di un’opzione mostra la variazione del prezzo del premio al giorno man mano che ci si avvicina alla scadenza.

Theta è negativo per le posizioni long (o acquistate) e positivo per le posizioni short (o vendute). Per il titolare, il valore di un’opzione diminuisce sempre nel tempo visto che la situazione è ceteris paribus (a parità di altre condizioni); questo vale sia per le call che per le put. Se la tua opzione ha un theta di -0,2, il suo prezzo cambierà di 20 centesimi al giorno quanto più si avvicina alla scadenza.

Vega (ν)

Vega (ν) misura la sensibilità del prezzo di un’opzione in base a una variazione dell’1% della volatilità implicita. Si basa sul calcolo della volatilità implicita, ovvero la previsione del mercato su un probabile movimento del prezzo dell’asset sottostante. Vega è sempre un valore positivo perché quando il prezzo di un’opzione aumenta, aumenta anche la sua volatilità implicita, in un situazioni ceteris paribus.

In generale, una volatilità più elevata rende le opzioni più costose, poiché vi è una maggiore probabilità di raggiungere il prezzo d’esercizio. Un venditore di opzioni beneficerà di un calo della volatilità implicita, mentre un acquirente sarà svantaggiato. Vediamo un esempio pratico: se la tua opzione ha un vega di 0,2 e la volatilità implicita aumenta dell’1%, il premio dovrebbe aumentare di 20 centesimi.

<html>

<head>

<title>Random Walk Prices</title>

</head>

<body>

// Funzione per generare i prezzi seguendo una random walk

function generateRandomWalkPrices() {

// Inizializzazione dei dati

var currentPrice = 100; // Prezzo iniziale

var priceList = [];

// Genera prezzi seguendo una random walk per 100 giorni

for (var i = 0; i < 100; i++) {

// Modifica il prezzo seguendo una random walk

var change = Math.floor(Math.random() * 21) - 10; // Variazione casuale tra -10 e 10

currentPrice += change;

currentPrice = Math.max(currentPrice, 0); // Prezzo non può essere negativo

priceList.push(currentPrice);

}

// Aggiorna il grafico

drawGraph(priceList);

}

// Funzione per disegnare il grafico

function drawGraph(priceList) {

var canvas = document.getElementById('myCanvas');

var ctx = canvas.getContext('2d');

var marginLeft = 40; // Margine sinistra

var marginBottom = 40; // Margine inferiore

// Calcolo della scala per l'asse y

var maxPrice = Math.max.apply(null, priceList);

var scaleY = (canvas.height - marginBottom * 2) / maxPrice;

// Disegna gli assi

ctx.beginPath();

ctx.moveTo(marginLeft, 0);

ctx.lineTo(marginLeft, canvas.height - marginBottom);

ctx.lineTo(canvas.width, canvas.height - marginBottom);

ctx.strokeStyle = 'black';

ctx.stroke();

// Disegna le etichette sull'asse y

for (var i = 0; i <= 10; i++) {

var price = Math.round(maxPrice * i / 10);

var yPos = canvas.height - marginBottom - price * scaleY;

ctx.fillText(price.toString(), 5, yPos);

}

// Aggiunge le etichette agli assi

ctx.fillText('Giorni', canvas.width - 70, canvas.height - marginBottom + 20);

ctx.fillText('Prezzo', 0, marginBottom - 10);

// Disegna il grafico

ctx.beginPath();

ctx.strokeStyle = 'blue';

for (var i = 0; i < priceList.length - 1; i++) {

var x1 = marginLeft + i * (canvas.width - marginLeft) / (priceList.length - 1);

var y1 = canvas.height - marginBottom - priceList[i] * scaleY;

var x2 = marginLeft + (i + 1) * (canvas.width - marginLeft) / (priceList.length - 1);

var y2 = canvas.height - marginBottom - priceList[i + 1] * scaleY;

ctx.moveTo(x1, y1);

ctx.lineTo(x2, y2);

}

ctx.stroke();

}

// Chiama la funzione quando il documento è pronto

window.onload = function() {

generateRandomWalkPrices();

};

</script>

</body>

</html>

Cerca nel blog

Statistica applicata

Homework 3

Commenti

Posta un commento

Post popolari in questo blog

Homework 1

Homework 4